1. feladat: Geometriai valószínûség

Lajos, a szórakozott kis matematikus és Julcsi egy zeg-zugos utcácskákból álló kisvárosban laknak és ugyanabba az iskolába járnak. Reggeli útjuk az iskolába menet (a zeg-zug-on) egy kis térnél fut össze, ahol minden reggel egy egyenletesen véletlenszerû 7:00 - 8:00 közti  idõpontban haladnak át. Kinek-kinek, ahogy sikerül.

(Minden idõpont egyenlõen valószínû mindkettõjük számára, egymástól függetlenül, de 7 és 8 közé esik, az biztos.) Lajos az érkezésekor megnézi az óráját, és annyit vár Julcsira, amennyi a 8-ig hátrlévõ (órában mért) idõ négyzete. Pl. ha még fél óra van hátra 8-ig, akkor negyed órát (15 perc) vár... Ha addig Julcsi nem jön, elmegy az iskolába, de otthagy egy szál virágot a téren Julcsinak. Julcsi nem vár, megállás nélkül megy át a téren. Ha Lajos ott van, vele, ha nincs, nélküle...

A) Mekkora a valószínûsége annak, hogy Lajos és Julcsi a kis téren találkoznak?

B) Mekkora annak a valószínûsége, hogy Julcsi virágot talál  a téren? (Pontosan azt a virágot, amelyet Lajos aznap otthagyott.)

Késõbb...

2. feladat: Geometriai valószínûség II.
 
A \(\left[0;4\vphantom{1^1_1}\right]\) intervallumból kiválasztunk véletlenszerûen két számot. (A két szám választása egymástól független, és mindegyik egyenletesen esélyes az intervallumon.)
 
Mekkora az esélye annak, hogy a két szám szorzata kisebb, mint nyolc?

Késõbb...

3.* feladat (nem kötelezõ): Egy 2 m széles patak fölött kis hidacska ível át. A híd profilját a \(h(x)\) fv. írja le.

\[ h(x)=\frac{1-x^2}2;\hphantom{000}x\in\left[-1;1\vphantom{1^1_1}\right] \]

Milyen hosszú a híd járólefülete a két patak között?
 
Tanács: A \(h(x)\) fv. helyett az egyszerûbb \(g(x)=\tfrac12 x^2\) grafikonjának ívhosszát határozza meg a megfelelõ határok közt! A két grafikon nyilvány egybevágó, tehát az ívhosszat megkapja, és nem kell a konstansokkal bajlódnia...

Késõbb...