141. óra: A Binomiális eloszlás szórása

Legyen adott a \(0<p<1\) és az \(n\in\mathbb N\), és tekintsük az ehhez tartozó Binomiális eloszlást! A definíció szerint a szórásnégyzet (figyelembe véve, hogy a várható érték \(M=np\)):
\begin{equation}
\begin{split}
\sigma^2 &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}(k-np)^2 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\left(k^2-2knp+n^2p^2\right)=\\\\
&= \color{darkblue}{\underbrace{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot k^2}_{\text{A}}}
-\color{brown}{\underbrace{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot 2knp}_{\text{B}}} + \color{darkgreen}{\underbrace{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot n^2p^2}_{\text{C}}} = \color{darkblue}{A} - \color{brown}{B} + \color{darkgreen}{C}
\end{split}
\end{equation}Az \(\color{darkblue}{A},\color{brown}{B},\color{darkgreen}{C}\) betûkkel jelölt kifejezéseket külön számoljuk.
\begin{equation}
\begin{split}
\color{darkblue}{A} &\color{darkblue}{=} \color{darkblue}{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot k^2 = \sum_{\color{blue}{k=1}}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot k^2 = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{\color{blue}{k}!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}\cdot \color{blue}{k}^2 =  \hphantom{0000000000}}\\\\
&\color{darkblue}{=} \color{darkblue}{\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k(1-p)^{n-k}\cdot k = np\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{n-k}\cdot k=}\\\\
\color{darkblue}{\text{V}}&\color{darkblue}{\text{ezessük be az }l=k-1\text{ és az }m=n-1\text{ változókat!}}\\\\
&\color{darkblue}{=} \color{darkblue}{np\sum_{l=0}^m \frac{m!}{l!(m-l)!} p^{l}(1-p)^{m-l}\cdot \color{blue}{(l+1)} = np\sum_{l=0}^m \binom{m}{l} p^{l}(1-p)^{m-l}\cdot (l+1) =}\\\\
&\color{darkblue}{=} \color{darkblue}{np}\color{blue}{\underbrace{\sum_{l=0}^m \binom{m}{l} p^{l}(1-p)^{m-l}\cdot l}_{\text{Ez }B_m^p\text{ várható értéke:} mp }} + \color{darkblue}{np\underbrace{\sum_{l=0}^m \binom{m}{l} p^{l}(1-p)^{m-l}}_{\text{Ez }B_m^p\text{ teljes vszg.összege: }1}} =
\color{darkblue}{np\cdot}\color{blue}{mp}\color{darkblue}{+np = np(n-1)p+np =}\\\\
&\color{darkblue}{=} \color{darkblue}{\mathbf{n^2p^2-np^2+np}}\\\\\\

\color{brown}{B} &\color{brown}{=} \color{brown}{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot 2knp
= 2np\underbrace{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\cdot k}_{\text{Ez }B_n^p\text{ várható értéke:} np } = 2np\cdot np = \mathbf{2n^2p^2}}\\\\\\

\color{darkgreen}{C} &\color{darkgreen}{=} \color{darkgreen}{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \cdot n^2p^2 = n^2p^2} \color{green}{\underbrace{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}_{\text{Ez }B_n^p\text{ teljes vszg.összege: }1} = \mathbf{n^2p^2}}
\end{split}
\end{equation}
A keresett szórásnégyzet tehát:
\begin{equation}
\begin{split}
\sigma^2 &= \color{darkblue}{A}-\color{brown}{B}+\color{darkgreen}{C} = \color{darkblue}{n^2p^2-np^2+np}-\color{brown}{2n^2p^2}+\color{darkgreen}{n^2p^2} = np-np^2 = \mathbf{np(1-p)}
\end{split}
\end{equation}