98-99. óra: A helyettesítéses integrál

Az összetett függvény deriválása körül fogunk nézelõdni. Mit kezdhetnénk azzal integrálás-ügyben?

Elõször idézzük fel a szabályt!
\[
\left[\vphantom{1^1_1}f\left(\vphantom{1^1_1}g(x)\right)\right]'_x = f'_g(g)\cdot g'_x(x)
\]Olv.: Az \(f\left(\vphantom{1^1_1}g(x)\right)\) összetett fv. \(x\) szerinti deriváltja: az \(f(g)\) fv. \(g\) szerinti deriváltja a \(g\) helyen szorozva a \(g(x)\) fv. \(x\) szerinti deriváltjával.

Ebbõl elég nyakatert lesz integrálási szabályt csinálni. De lehet!

Kezdjük egy példával!

Integráljuk a \(\sin^3x\) függvényt!
\[
\int\sin^3x\text{ d}x = \text{ ?}
\]Naivan azt gondolhatná valaki, hogy mivel \(\int x^3\text{ d}x=\frac{x^4}4+c\), azért erre is ez lenne a megoldás (lila ködben):
\[
\int\sin^3x\text{ d}x \stackrel{\text{?}}{=} \frac{\sin^4x}4+c\hphantom{00}\text{ volna.}
\]Ha azonban ellenõrizzük a dolgot, szebejön velünk az összetett fv. deriválási szabálya:
\[
\text{Ellenõrzés: }\left[\tfrac14\sin^4x\vphantom{1^1_1}\right]' = \tfrac14\cdot4\sin^3x\,\cos x =\sin^3x\,\cos x
\]Az összetett fv. deriválási szabálya odapiszkította nekünk a belsõ fv. deriváltját. (És így nem jött ki.)

Mi lenne, ha 'egy jó tündér' odacsempészné nekünk az integrálba a belsõ fv. deriváltját? (Ilyen jó tündér nincs, de játsszunk el a gondolattal!) Ekkor minden rendben lenne:
\[
\int\sin^3x\cos x\text{ d}x = \frac{\sin^4x}4+c\hphantom{000}\text{(Amit a zöld színû ellenõrzés igazol.)}
\]
Találtunk valamit, próbáljuk meg leírni formálisan!
\[
\int f(g(x))\cdot g'(x)\text{ d}x = \int f(g) \text{ d}g
\]Vagyis ha az integrál mögött az összetett fv. mellett ott van a belsõ fv. deriváltja is, akkor integrálhatunk úgy, mintha a belsõ fv. (g) egy szimpla változó lenne, és õ szerinte integrálnánk. (Ezt majd tételként ki is mondjuk, és bizonyítjuk, de elõbb fejezzük be a példát!)

Jó tündérek csak a mesében vannak. Nekünk kell megteremtenünk azt a belsõ fv. deriváltját.
\begin{equation}
\begin{split}
\int\sin^3x\text{ dx}&=\int\sin^2x\cdot\sin x\text{ d}x =\int(1-\cos^2x)\sin x\text{ d}x =\\\\
&=\underset{g(x)=\cos x}{-\int(1-\cos^2x)(-\sin x)\text{ d}x} = -\int(1-g^2(x))\cdot g'(x)\text{ d}x=
-\int(1-g^2)\text{ d}g = -(g-\tfrac13g^3)+c=\\\\
&=\tfrac13g^3-g+c = \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{\tfrac13\cos^3x-\cos x+c}}}}
\end{split}
\end{equation}
Nézzük az ellenõrzést!
\begin{equation}
\begin{split}
\left[\vphantom{1^1_1}\tfrac13\cos^3x-\cos x\right]' &= \tfrac13\cdot3\cos^2x\cdot(-\sin x)-(-\sin x) =
-\cos^2x\cdot\sin x+\sin x = -(1-\sin^2x)\sin x+\sin x =\\
&=-\sin x + \sin^3x +\sin x = \sin^3x\hphantom{00}\surd
\end{split}
\end{equation}

És akkor lássuk a szabályt!

Bizonyítás: Vegyük mindkét oldal  \(x\) szerinti deriváltját!
(Ne felejtsük! Az integrál deriváltja az integrálási változó szerint nem más, mint az integrandus.)
\begin{equation}
\begin{split}
\int f(g(x))\cdot g'(x)\text{ d}x &= \int f(g) \text{ d}g\hphantom{000000000}&\big/\,(\cdot)'_x\\\\
\left[\int f(g(x))\cdot g'(x)\text{ d}x\right]'_x &= \left[\int f(g) \text{ d}g\right]'_g\cdot g'_x(x)\\\\
f(g(x))\cdot g'(x) &= f(g)\cdot g'_x(x)
\end{split}
\end{equation}A két oldal ugyanaz.

Megjegyzés: A deriválás (mely az additív konstanst 'elnyeli') csak azt bizonyítja, hogy az eredeti egyenlõségben a két fv. additív konstans erejéig egyenlõ. De a tetszõleges \(c\) konstanst a határozatlan integrál úgyis tartalmazza... így az állításunkat ezzel igazoltuk.

 

Ezzel a tananyag kész. Érdemes azonban megnézni a tételt Newton formalizmusával is, mert bár kissé hamis, de nagyon jól kezelhetõvé teszi a fenti, bizony elég nehéz szabályt.

Newton valamely g(x) függvényt egyrészt szimplán \(g\)-vel jelölte (eddig rendben), a deriváltat pedig így:
\[
g'(x) = \frac{\text{d}g}{\text{d}x}\hphantom{000}\text{(Ami persze nem egy valódi tört, csak jelölés.)}
\]Írjuk át az összetett fv. deriválási szabályát e két formalizmussal élve:
\[
\int f\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}\text{ d}x = \int f\text{ d}g
\]Vicces! (És könnyen megjegyezhetõ.)

Nagyon sokat segít a szabály konkrét alkalmazásában!