96. óra: Parciális integrálás

Célunk a szorzatfv. valami módon való integrálása. Ehhez egy lehetséges segítségünk a szorzat deriváltjára vonatkozó Leibniz-szabály:
\[
\left[\vphantom{1^1_1}f(x)g(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]
Ezt kell tehát 'kicsavarnunk' integrálási szabállyá.
\begin{equation}
\begin{split}
\left[\vphantom{1^1_1}f(x)g(x)\right]' &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\\
\left[\vphantom{1^1_1}f(x)g(x)\right]' - f(x)g'(x) & = f'(x)g(x)\\
\text{Cseréljük fel a két oldalt:}\\
f'(x)g(x) &= \left[\vphantom{1^1_1}f(x)g(x)\right]' - f(x)g'(x)\hphantom{00000000}&\big/\,\int\ldots\text{ d}x\\
\text{Ha két fv. megegyezik, akkor a határozatlan integráljuk is:}\\
\int f'(x)g(x)\text{ d}x &= f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\text{ d}x
\end{split}
\end{equation}

 

Látszólag nem nyertünk semmit, egy integrál helyett kapunk egy másikat. De ha 'ügyesen' intézzük, azért juthatunk valamire.

Nézzünk néhány 'típust'!

 

I. Az egyik szorzó egy polinom

Határozzuk meg az
\[
\int x\cdot\cos x\text{ d}x
\] integrált!

Megoldás parciális integrálással:
\begin{equation}
\begin{split}
\underset{\begin{array}{c}f'(x)=\cos x\\g(x)=x\end{array}}{\int x\cdot\cos x\text{ d}x} &=
\underset{\begin{array}{c}f(x)=\sin x\\g'(x)=1\end{array}}{x\cdot\sin x-\int 1\cdot\sin x\text{ d}x} =
x\cdot\sin x-(-\cos x)+c =\underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{x\cdot\sin x+\cos x+c}}}}
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés deriválással:
\[
\left[\vphantom{1^1_1}x\cdot\sin x+\cos x\right]' = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x -\sin x = x\cdot\cos x\hphantom{00}\surd
\]Itt az volt az alapgondolat, hogy a polinomra osztjuk a \(g(x)\) szerepét, mert a polinom a deriválástól elpusztul. (Ha esetleg magasabb fokú lenne, akkor az eljárást addig ismételjük, amíg konstanssá nem pusztul le.)

Ez a masszív harcosokkal nem megy.

 

II. Két 'masszív' harcos...

Mi lenne az alábbi integrál értéke?
\[
\int e^x\sin x
\]

Ezek nem fognak elpusztulni a deriválástól... de azért essünk neki!
\begin{equation}
\begin{split}
\underset{\begin{array}{c}f'(x)=e^x\\g(x)=\sin x\end{array}}{\int e^x\sin x\text{ d}x} &=
\underset{\begin{array}{c}f(x)=e^ x\\g'(x)=\cos x\end{array}}{e^x\sin x-\int e^x\cos x\text{ d}x} =\ldots
\end{split}
\end{equation}Úgy tûnik cseberbõl vederbe estünk. Egy szinte ugyanolyan integrált kaptunk.
De nem!
Számítsuk ki a kapott integrált parciálisan:
\begin{equation}
\begin{split}
\underset{\begin{array}{c}f'(x)=e^x\\g(x)=\cos x\end{array}}{\int e^x\cos x\text{ d}x} &=
\underset{\begin{array}{c}f(x)=e^ x\\g'(x)=-\sin x\end{array}}{e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\text{ d}x} =
\underline{e^x\cos x+\int e^x\sin x\text{ d}x}
\end{split}
\end{equation}Írjuk ezt be az eredeti integrálunkba:
\begin{equation}
\begin{split}
\int e^x\sin x\text{ d}x &= e^x\sin x - \left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\text{ d}x\right)\\\\
\int e^x\sin x\text{ d}x &= e^x\sin x - e^x\cos x-\int e^x\sin x\text{ d}x\hphantom{0000000000}&\left/\,+\int e^x\sin x\text{ d}x\right.\\\\
2\int e^x\sin x\text{ d}x &= e^x\sin x - e^x\cos x\\\\
\int e^x\sin x\text{ d}x &= \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{\tfrac12\left(e^x\sin x - e^x\cos x\right)+c}}}}
\end{split}
\end{equation}(A \(+c\)-t hivatalból írtuk oda, mert tudjuk, hogy kell.)
Ellenõrzés deriválással:
\[
\left[\vphantom{1^1_1}\tfrac12\left(e^x\sin x-e^x\cos x\right)\right]' = \tfrac12\left(e^x\sin x+e^x\cos x-\left(e^x\cos x-e^x\sin x\right)\vphantom{1^1_1} \right) =
\tfrac12(2\cdot e^x\sin x)=e^x\sin x\hphantom{00}\surd
\]

Sajnos ez sem mindig megy...

II.B Két 'masszív' fv. egy további ötlettel

Integráljuk a \(\cos^2x\)-et!
\[
\int \cos^2x\text{ d}x = \text{ ?}
\]
Induljunk neki!

\begin{equation}
\begin{split}
\underset{\begin{array}{c}f'(x)=\cos x\\g(x)=\cos x\end{array}}{\int \cos^2 x\text{ d}x} &=
\underset{\begin{array}{c}f(x)=\sin x\\g'(x)=-\sin x\end{array}}{\sin x\cos x-\int (-\sin^2 x)\text{ d}x}
=\sin x\cos x+\int \sin^2 x\text{ d}x\\
\text{Ha most még egyszer parciálisan }&\text{integrálnánk, azonosságot kapnánk.}\\
\text{Helyette alkalazzuk a }&\sin^2x=1-\cos^2x\text{ helyettesítést!}\\\\
\int \cos^2 x\text{ d}x &= \sin x\cos x+\int \sin^2 x\text{ d}x\\\\
\int \cos^2 x\text{ d}x &= \sin x\cos x+\int\left(1-\cos^2x\right)\text{ d}x\\\\
\int \cos^2 x\text{ d}x &= \sin x\cos x+\int 1\text{ d}x-\int\cos^2x\text{ d}x\\\\
\int \cos^2 x\text{ d}x &= \sin x\cos x+x-\int\cos^2x\text{ d}x\hphantom{000000}\left/\,+\int\cos^2x\text{ d}x\right.\\\\
2\int \cos^2 x\text{ d}x &= \sin x\cos x+x\\\\
\int \cos^2 x\text{ d}x &= \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{\tfrac12\left(\sin x\cos x + x\right)+c}}}}
\end{split}
\end{equation}(A \(+c\)-t hivatalból írtuk oda, mert tudjuk, hogy kell.)
Ellenõrzés deriválással:
\begin{equation}
\begin{split}
\left[\vphantom{1^1_1}\tfrac12\left(\sin x\cos x+x\cos x\right)\right]' &=
\tfrac12\left(\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)+1\vphantom{1^1_1} \right) =
\tfrac12(\cos^2x+1-\sin^2x) = \tfrac12(2\cos^2x)=\cos^2x\hphantom{0}\surd
\end{split}
\end{equation}

Nézzünk még egy alkalmazást!

 

III. Ha nem tudod integrálni, deriválj!

Mi lehet az \(\text{ln}\,x\) integrálja?

Ezt a függvényt (még) nem tudjuk integrálni, de deriválni igen!

Nézzük:
\begin{equation}
\begin{split}
\int\text{ln}\,x\text{ d}x &=
\underset{\begin{array}{c}f'(x)=1\\g(x)=\text{ln}\,x\end{array}}{\int1\cdot\text{ln}\, x\text{ d}x} =
\underset{\begin{array}{c}f(x)=x\\g(x)=\frac1x\end{array}}{x\cdot\text{ln}\,x-\int x\cdot\frac1x\text{ d}x} = x\cdot\text{ln}\,x-\int 1\text{ d}x = \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{x\cdot\text{ln}\,x-x+c}}}}
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés deriválással:
\begin{equation}
\begin{split}
\left[\vphantom{1^1_1}x\cdot\text{ln}\,x-x\right]' &=
1\cdot\text{ln}\,x+x\cdot\frac1x-1=\text{ln}\,x + 1 - 1=\text{ln}\,x\hphantom{00}\surd
\end{split}
\end{equation}