93. óra: Az integrál
A függvény és a derivált közti szoros kapcsolat miatt nem csak az lehet
érdekes, hogy mi egy \(f(x)\) függvény deriváltja, hanem az is, hogy kinek
a deriváltja az \(f(x)\)?
\[
F(x) = \int f(x) \mbox{ d}x
\]
A deriválás és az integrálás közti kapcsolat kissé emlékeztet a
szorzás/osztás köztire. (Egyik oda, másik vissza.)
Az analógia annyiban is fennáll, hogy deriválni általában könnyebb
(legalábbis viszonylag), mint integrálni.
A határozatlan integrál - mivel a konstans fv. deriváltja zérus - egy additív (hozzáadódó) konstans erejéig határozatlan.
Plédául:
\[
\int x^2 \text{ d}x = \frac{x^3}3 + c\text{, ahol }c\in\mathbb R
\]A \(c\) additív konstans odaírásával azt fejezzük ki, hogy ott
bármilyen szám állhat - azt nem ismerjük.
Ha egy kicsit kevésbé szertnénk határozatlanok lenni, elõírhatjuk, hogy azon függvények közül, melyek deriváltja \(f(x)\), nekünk melyik kell. Célszerûen a választékból azt szoktuk elõírni, hogy hol legyen a zérushelye:
Definíció: Azt az \(F(x)\) függvényt, amely...
\(\bullet\) egyrészt primitív függvénye az \(f(x)\)-nek: \(F'(x)=f(x)\),
\(\bullet\) másrészt a kitüntetet \(a\in D_f\) helyen zérust vesz fel: \(F(a)=0\),
az \(f(x)\) függvény \(a\)-ban eltûnõ integrálfüggvényének nevezzük.
Jele:
\[F(x) = \int\limits_a f(x)\mbox{ d}x\]
Ez már egyértelmûsíti a függvényt. Például az \(f(x)=2x\) függvény
határozatlan integrálja:
\[\int 2x\mbox{ d}x = x^2+c\]Ha azonban a nullában eltûnõ
integrálfüggvényt keressük, abból csak egy van:
\[\int\limits_0 2x\mbox{ d}x = x^2\]Ugyanennek a \(2x\)-nek
mondjuk a 3-ban eltûnõ intergálfüggvénye:
\[\int\limits_3 2x\mbox{ d}x = x^2-9\]Stb.
Mire jó ez?
Egy fontos tétel következik. Elõször a szemléletesség (jobb érthetõség) kedvéért kissé pontatlanul kimondva.
Jelölje \(T(x)\) a függvény görbéje alatti területet a rögzített \(a\) és a változó \(x\in D_f\) között!
(Ahogy \(x\) változik, vele változik a \(T\) is, így \(T\) az \(x\) függvénye.)
Newton‒Leibniz-tétel: A \(T(x)\) függvény az \(f(x)\) fv. \(a\)-ban eltûnõ integrálfüggvénye:
\[T(x) = \int\limits_a f(x)\mbox{ d}x\]
Az, hogy \(T(x)\) az \(a\)-ban eltûnik, vagyis \(T(a)=0\) elég jól látszik. Ilyenkor a terület egy szakasszá zsugorodik, melynek területe zérus.
Nehezebb annak igazolása, hogy \(T'(x) = f(x)\). Vizsgálnunk kell a
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{T(x+\Delta x)-T(x)}{\Delta x}
\]határértéket.
Az egész bizonyítás a rendõr-elven alapszik. Meg kell becsülnünk mindkét irányból a \(T(x+\Delta x)-T(x)\)-et.
1. eset: \(f(x)>0\) és az \(x\) környezetében monoton növõ
Legyen elõször \(\Delta x>0\), vagyis vizsgáljuk a jobboldali határértéket!
| (1) Menjünk
odébb \(\Delta x\)-nyivel! (Kattintás
az ábrán!) (2) Az addig terjedõ terület a \(T\) definíciója szerint \(T(x+\Delta x)\), így a \(T(x+\Delta x)-T(x)\) az ábrán jelzett sûrûbben vonalkázott terület. (Katt.!) (3) E terület nagyobb-egyenlõ, mint a beírt, \(f(x)\) magasságú téglalapé (katt!). Így fennáll: \[f(x)\cdot\Delta x \le T(x+\Delta x)-T(x)\] |
 |
\[ T(x+\Delta x)-T(x) \le f(x+\Delta x)\cdot\Delta x\]
Összefoglalva: ha \(f(x)>0\), az \(x\) valamely környezetében monoton növõ, és \(\Delta x>0\), akkor:
\begin{equation}
\begin{split}
f(x)\cdot\Delta x &\le T(x+\Delta x)-T(x) \le f(x+\Delta x)\cdot\Delta x\\\\
f(x) &\le \frac{T(x+\Delta x)-T(x)}{\Delta x} \le f(x+\Delta x)
\end{split}
\end{equation}Ha most \(\Delta x \rightarrow+0\) akkor az \(f(x)\) függvény folytonossága alapján mindkét szélen \(f(x)\)-hez tartó kifejezés áll, így a rendõr-elv alapján a közrefogott tag is oda tart. Amit mondhatunk:
\[\lim_{\Delta x\rightarrow +0}\frac{T(x+\Delta x)-T(x)}{\Delta x} = f(x)\]
Ha most \(\Delta x<0\), akkor az ábrát erõsen figyelve megállapíthatjuk, hogy a becslés most is megáll, csak éppen fordítva (a sok mínusz jel azt hivatott kezelni, hogy a területek pozitívnak jöjjenek ki):
\begin{equation}
\begin{split}
f(x)\cdot\left(-\Delta x\right) &\ge -\left[\vphantom{1^1_1}T(x+\Delta x)-T(x)\right] \ge f(x+\Delta x)\cdot\left(-\Delta x\right)\\\\
f(x)\cdot\Delta x &\le \vphantom{1^1_1}T(x+\Delta x)-T(x) \le f(x+\Delta x)\cdot\Delta x\\\\
f(x) &\ge \frac{T(x+\Delta x)-T(x)}{\Delta x} \ge f(x+\Delta x)
\end{split}
\end{equation}De a rendõr-elvnek így is jó. Most azt mondhatjuk, hogy
\[\lim_{\Delta x\rightarrow -0}\frac{T(x+\Delta x)-T(x)}{\Delta x} = f(x)\]
Ha a jobb és a bal oldali határérték megegyezik, akkor az a határérték:
\[\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{T(x+\Delta x)-T(x)}{\Delta x} = f(x)\]
Vagyis
\[T'(x) = f(x)\]
Ezzel kész is volnánk...
...de van még egy pár eset.
2. eset: Mi van, ha \(f(x)>0\), és az \(x\) egy környezetében monoton fogyó?
Nincs azzal semmi baj, csak akkor minden becslésünk megfordul... hagyjuk!
3. eset: \(f(x)>0\), és éppen ott van a fv.-nek maximuma, vagy minimuma - még egy ici-pici környezetben sem monoton. Ekkor is megy minden, csak a jobb és baloldali becsléseink egy irányból igazolják e tételt...
Az igazi baj az, ha \(f(x)<0\). Akkor bizony minden borul, mert a terület (ami nem nagyon szeret negatív lenni) nem becsülhetõ olyan negatív dolgokkal, mint \(f(x)\) vagy efféle.
Mi legyen hát?
Newton megoldása a következõ: \(T(x)\) jelentése NE a szokásos terület, hanem ún. elõjeles terület legyen!
Ez pontosan azt jelentse, hogy az x-tengely alatti területek negatívnak számítsanak! Ha így teszünk, nemcsak a bizonyításaink lesznek rendben, de a fizika is szépen ezzel vág egybe. (Ezért is oldotta meg így Newton.)
Érdekes tapasztalataink alapján újrafogalmazzuk a tételt (most már pontosabban).
Jelölje \(T(x)\) a függvény grafikonja és az x-tengely közé esõ elõjeles területet a rögzített \(a\) és a változó \(x\in D_f\) között!
Az elõjeles terület azt jelenti, hogy az x-tengely fölött lévõ terület pozitívnak számít, az x-tengely alatti terület negatívnak számít. (Titkon akkor is negatívnak számít a \(T(x)\), ha az \(x\) az \(a\) alá kerül.)
Newton‒Leibniz-tétel: A \(T(x)\) függvény az \(f(x)\) fv. \(a\)-ban eltûnõ integrálfüggvénye:
\[T(x) = \int\limits_a f(x)\mbox{ d}x\]
Vegyük használatba az új tudásunkat!
Példák
| 1. példa Határozzuk meg a \(g(x)=x^2\) függvény görbéjének az \(x=1\) és az \(x=3\) közé esõ görbe alatti területét! Megoldás A tételben szereplõ \(a=1\). Meg kell tehát állapítanunk a \(g(x)\) függvény \(1\)-ben eltûnõ integrálfüggvényét: \[ \int g(x)\mbox{ d}x = \int x^2\mbox{ d}x = \frac{x^3}3 + c \]Ha azt akarjuk, hogy az \(x=1\)-ben a függvény eltûnjön, a \(c\)-t 'ügyesen' \(-\frac13\)-nak kell választani: \[ \int\limits_1 x^2\mbox{ d}x = \frac{x^3}3 - \frac13 \]A tétel szerint ez a terület függvénye. Ennek az \(x=3\)-ban felvett értéke a keresett terület: \[ T(3) = \frac{3^3}3-\frac13 = 9-\frac13 = \color{darkred}{\mathbf{\frac{26}3}} \] A kédéses terület: \(\mathbf{\frac{26}3}\). Ez így egy kicsit hosszadalmas. |
 |
Praktikusan a következõképp végezzük ezt el...
Elõször is egy jelölés! A kérdéses területet, vagyis a \(g(x)\)
függvény 1-ben eltûnõ integrálfüggvényének a 3 helyen felvett értékét
így jelöljük:
\[\int\limits_1^3 g(x)\mbox{ d}x\]és úgy olvassuk: 'integrál 1-tõl
3-ig g(x)'. A neve: határozott integrál.
Hogyan számolhatjuk ki egyszerûen?
\[
\int\limits_1^3 g(x)\mbox{ d}x = \int\limits_1^3 x^2\mbox{ d}x =
\left[\frac{x^3}3\right]_1^3 = \frac{3^3}3-\frac{1^3}3 = 9-\frac13 =
\color{darkred}{\mathbf{\frac{26}3}}
\]
Az történt, hogy nem törõdtünk azzal, hogy melyik integrálfüggvénnyel
dolgozunk. Behelyettesítettük elõbb az integrál felsõ határát, majd az
alsó határát, s kivontuk õket egymásbõl. (A felsõ határ helyettesítési
értékébõl az alsóét.)
Ez azért mûködõképes, mert az integrálfüggvények csak egy additív konstansban különböznek. És ha ügyelünk arra, hogy mind a két helyettesítésnél ugyanazt az integrálfüggvényt használjuk, akkor bármennyi is a kívánatos konstans, az a kivonás miatt kiesik.
Ha tehát az egyébként elõírt (tétel szerinti) \(\frac{x^3}3-\frac13\) helyett önkényesen az \(\frac{x^3}3\)-at használjuk, az nem okoz bajt, mert a kivonás miatt a gond kiesik.
\[\int\limits_a^b f(x)\mbox{ d}x\]
| olvasata: 'határozott integrál a-tól b-ig' Jelentése: \[ \int\limits_a^b f(x)\mbox{ d}x=F(b)-F(a) \]ahol \(F(x)\) az \(f(x)\) egyik primitív függvénye. (Mindegy melyik, mert a határozatlan \(c\) additív konstans a kivonás miatt úgyis kiesik.) (A határozott integrál jelenti egyben a függvény grafikonja és az x-tengely közé esõ elõjeles terület nagyságát az [a;b] intervallumon.) |
 |
1. Megjegyzés: Az elmondás érthetõsége kedvéért azt feltételeztük, hogy a ≤ b. (Másképp [a;b] intervallum üres.) De a határozott integrál definícióját igazából nem zavarná, ha a > b lenne, akkor is \(F(b)-F(a)\).
Ezt úgy fejezzük ki, hogy: a határozott integrál értéke elõjelet vált, ha a határokat felcseréljük:
\[\int\limits_a^b f(x)\mbox{ d}x = -\int\limits_b^a f(x)\mbox{ d}x\]
2. Megjegyzés: Nem minden függvénynek van primitív függvénye, nem minden halmaznak van területe, nem minden függvény integrálható, stb. Szóval mindezekhez hozzá kéne tenni: 'ha a primitív függvény létetik', 'ha az a terület létezik', 'ha a függvény integrálható', stb. De ezt középiskolában elhagyjuk. A mi függvényeink szépek, a mi halmazainknak van területük, ... persze néha nem. Nem árt az óvatosság!
| 2. példa Határozzuk meg a \(h(x)=3x-x^3\) függvény görbéjének az x-tengely pozitív felével közbezárt területét! Megoldás Az integrálás határai a \(h(x)\) fv. nemnegatív zérushelyei: \(0\) és \(\sqrt{3}\). Alkalmazzuk az új jelölést! \begin{equation} \begin{split} \int\limits_0^{\sqrt{3}} \left( 3x-x^3\right)\mbox{d}x &= \left[\frac32x^2-\frac14x^4\right]_0^{\sqrt{3}} = \left(\frac32\left(\sqrt{3}\right)^2-\frac14\left(\sqrt{3}\right)^4\right)-\\\\ &- \left(\frac32 0^2-\frac14 0^4\right) = \left(\frac92-\frac94\right)-0 = \color{darkred}{\mathbf{\frac94}} \end{split} \end{equation} A kédéses terület: \(\mathbf{\frac{9}4}\). |
 |
