65. óra: A szinusz-függvény deriváltja

Bizonyítás: Ha \(f(x)=\sin x\), akkor...
\begin{equation}
\begin{split}
f'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} =
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin\left(\color{darkblue}{x+\frac{\Delta x}2}+\color{darkgreen}{\frac{\Delta x}2}\right)-\sin\left(\color{darkblue}{x+\frac{\Delta x}2}-\color{darkgreen}{\frac{\Delta x}2}\right)}{\Delta x} =
\end{split}
\end{equation}
Alkalmazzuk a szorzattáalakítás 'trükköt'!

Ez a gondolat a következõ volt:
\[
\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)-(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\sin\beta
\]

A szereposztás most: \(\color{darkblue}{\alpha=x+\frac{\Delta x}2}\) és \(\color{darkgreen}{\beta=\frac{\Delta x}2}\)
\begin{equation}
\begin{split}
&= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cos\left(\color{darkblue}{x+\frac{\Delta x}2}\right)\sin\color{darkgreen}{\frac{\Delta x}2} }{\Delta x}=
\overbrace{\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos\left(\color{darkblue}{x+\frac{\Delta x}2}\right)\sin\color{darkgreen}{\frac{\Delta x}2} }{\frac{\Delta x}2}=
\lim_{\begin{array}{r}\Delta x\rightarrow0\\h\rightarrow0\end{array}}{\frac{\cos(x+h)\sin h}{h}}}^{\text{Bevezetjük a }h:=\frac{\Delta x}{2}\text{ új változót. Nyilván }h\rightarrow0\text{ szintén.}}=\\\\
&=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{\cos(x+h)\sin h}{h}}
=\lim_{h\rightarrow0}
{\underbrace{\cos(x+h)}_{\rightarrow\cos x}\underbrace{\frac{\sin h}{h}}_{\rightarrow1}}
=\color{darkred}{\mathbf{\cos x}}
\end{split}
\end{equation}