51. óra: A szorzatfüggvény deriváltja

A deriválási szabályok általában azt vizsgálják, hogy a mûveletek hogy 'vezethetõk át' a deriváláson. Most a szorzás esetét vesszük.

Bizonyítás:
\begin{equation}
\begin{split}
\left[f(x)\cdot g(x)\right]' &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}=\\\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)\color{darkblue}{-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)}-f(x)g(x)}{\Delta x} = \\\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0} \frac{\left[\vphantom{1^1_1}f(x+\Delta x)-f(x)\right]g(x+\Delta x)+f(x)\left[\vphantom{1^1_1}g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}=\\\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left[\frac{\left[\vphantom{1^1_1}f(x+\Delta x)-f(x)\right]g(x+\Delta x)}{\Delta x} + \frac{f(x)\left[\vphantom{1^1_1}g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}        \right] = \\\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left[\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x) + f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right]=\\\\
&=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)
\end{split}
\end{equation}Talán nézzük végig, hogy a négy darab miért is tart oda, ahova a végeredményünkben mondjuk!

1-2.: A derivált definíciója alapján:
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)\hphantom{00000}\text{és}\hphantom{00000}
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=g'(x)
\]
3.: Nem függ \(\Delta x\)-tõl, tehát a határérték az a szám, ami oda van írva:
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}f(x) = f(x)
\]
4.: Az egyetlen kicsit kérdéses, hogy
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}g(x+\Delta x) = g(x)
\]Ez azt jelenti, hogy a \(g\) függvény folytonos az \(x\) pontban. Gondoljuk ezt meg!

Állítás: Ha egy \(g\) függvény deriválható az \(x\) pontban, akkor ott folytonos is.

Indoklás: Mivel létezik a
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}
\]határérték, és a nevezõ zérushoz tart azért a számlálónak is zérushoz kell tartania. (Tanultunk, hogy másként nincs határérték.)
Tehát:
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left[\vphantom{1^1_1}g(x+\Delta x)-g(x)\right] = 0
\]Mivel \(g(x)\) nem függ \(\Delta x\)-tõl, azért a \(g(x)\) határértéke \(g(x)\) (a \(\Delta x\) szmpontjából ez egy konstans).
Ekkor az átviteli elv szerint:
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left[\vphantom{1^1_1}g(x+\Delta x)-g(x)\right] = \lim_{\Delta x\rightarrow0}g(x+\Delta x)-g(x)
\]De ez 0 volt az eggyel feljebbi összefüggés szerint, így
\begin{equation}
\begin{split}
\lim_{\Delta x\rightarrow0}g(x+\Delta x)-g(x) = 0\\
\lim_{\Delta x\rightarrow0}g(x+\Delta x)=g(x)
\end{split}
\end{equation}És ezt akartunk igazolni.