A szinusz-függvény kiterjesztett értelmezése
A régi definícióA "régi" alatt azt értjük: "derékszögû háromszögben hegyesszög szinusza". Értelmezés: valamely α hegyesszög
szinusza = a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa
abban a derékszögû háromszögben, amelyben α az egyik
hegyesszög. Az ábra jelöléseivel: \[\sin\alpha := \frac{a}{c}\] |
 |
A régi értelmezés egy kicsit más felfogásban...
| Ha a koordináta-rendszerben tekintünk
egy α hegyesszöget mint irányszög és az α
irányszögû egységvektort (1-hosszú vektor), ...
... akkor \(\sin\alpha\) jelentése: az \(\alpha\) irányszögû egységvektor második koordinátája. Magyarázat: (1) Jelölje vektorunk második koordinátáját y. (2) Toljuk el az y szakaszt a vektor végpontjába! |
 |
(3) Az ábrán kiemelt derékszögû háromszögben felírva \(\sin\alpha\) értelmezését:
\[\sin\alpha = \frac{y}{1} =y\]
A szinusz értelmezése tetszõleges
irányszögre
Ez a definíció tetszõleges \(\alpha\in\mathbb R\) elõjeles irányszög esetén értelmezi \(\alpha\) szinuszát. Más szavakkal, értelmeztünk egy valós függvényt (neve: szinusz-függvény): \[\sin: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\]
A szinusz-függvény kirajzolása
A "kellemesebb" grafikon érdekében a szöget radiánban mérjük.
Miközben a szög növekszik a megfelelõ egységvektor második koordinátája
más- és más értéket vesz fel. Ezt illusztrálja a következõ animáció:
(Az x-tengelyen a szög értéke
fut radiánban.)
A teljes grafikon jó átláthatósága érdekében célszerûnek látszik, hogy az x-tengelyen ne az egész számokkal, hanem a \(\pi\) többszöröseivel jelöljük a skálát.
A
szinusz-függvény tulajdonságai
- Értelmezési tartomány: \(D_{\sin} = \mathbb R\) (Minden forgásszögnek van szinusza.)
- Értékkészlet: \(R_{\sin} = [-1;1]\)
- Szélsõérték:
- Maximum
- értéke: \(y=1\)
- helye(i): \(x=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
- Minimum
- értéke: \(y=-1\)
- helye(i): \(x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot 2\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
- Zérushely(ei): \(x=k\cdot\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
- Paritás: a függvény páratlan.
- Geometriai értelemben: a függvény grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus.
- Algebrai értelemben: ha a fv. valamely \(x\) helyen a \(\sin x\) értéket veszi fel, akkor a \(-x\) helyen annak ellentétét, azaz \(\sin(-x)=-\sin x\)
- A függvény \(2\pi\) szerint periodikus.
- Geometriai értelemben: a fv. grafikonja \(2\pi\) vel eltolva az x tengely pozitív, vagy negatív irányába önmagába megy át
- Algebrai értelemben: \(\sin x = \sin(x+2\pi) = \sin(x-2\pi)\)