A szinusz-függvény kiterjesztett értelmezése

A régi definíció

A "régi" alatt azt értjük: "derékszögû háromszögben hegyesszög szinusza".

Értelmezés: valamely α hegyesszög szinusza = a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa abban a derékszögû háromszögben, amelyben α az egyik hegyesszög. Az ábra jelöléseivel:

\[\sin\alpha := \frac{a}{c}\]

hegyesszög szinusza

A régi értelmezés egy kicsit más felfogásban...

Ha a koordináta-rendszerben tekintünk egy α hegyesszöget mint irányszög és az α irányszögû egységvektort (1-hosszú vektor), ...

... akkor \(\sin\alpha\) jelentése: az \(\alpha\) irányszögû egységvektor második koordinátája.

Magyarázat: (1) Jelölje vektorunk második koordinátáját y.

(2) Toljuk el az y szakaszt a vektor végpontjába!

(3) Az ábrán kiemelt derékszögû háromszögben felírva \(\sin\alpha\) értelmezését:

\[\sin\alpha = \frac{y}{1} =y\]

A szinusz értelmezése tetszõleges irányszögre

Értelmezés: Valamely tetszõleges α irányszög szinusza az α irányszögû egységvektor második koordinátája.

Ez a definíció tetszõleges \(\alpha\in\mathbb R\) elõjeles irányszög esetén értelmezi \(\alpha\) szinuszát. Más szavakkal, értelmeztünk egy valós függvényt (neve: szinusz-függvény): \[\sin: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\]

A szinusz-függvény kirajzolása

A "kellemesebb" grafikon érdekében a szöget radiánban mérjük. Miközben a szög növekszik a megfelelõ egységvektor második koordinátája más- és más értéket vesz fel. Ezt illusztrálja a következõ animáció:
(Az x-tengelyen a szög értéke fut radiánban.)

a szinusz-függvény kialakulása

A teljes grafikon jó átláthatósága érdekében célszerûnek látszik, hogy az x-tengelyen ne az egész számokkal, hanem a \(\pi\) többszöröseivel jelöljük a skálát.

A szinusz-függvény tulajdonságai