2. óra: Addíciós tétel

Bizonyítás

Tekintsünk egy \(\alpha+\beta\) irányszögû egységvektort! (Ld. ábra!)

(1) Ennek második koordinátája \(\sin(\alpha+\beta)\). (Kattintson az ábrán az 1. lépésre!)

(2) Forgassuk el az eredeti K koordinátarendszert \(\alpha\) szöggel! (Katt. 2. lépés!) Az új koordinátarendszer K'.

(3) A K' rendszerben egységvektorunk irányszöge \(\beta\), így ott a második koordinátája \(\sin\beta\). (Katt.)

(4) Az így kapott koordináta (\(\sin\beta\)) végpontját vetítsük ki vizszintesen a \(\sin(\alpha+\beta)\) irányába! (Katt.)
Ez kettéosztja a \(\sin(\alpha+\beta)\)-t. A két részt külön számoljuk ki.

(5) Az alsó részt - jelölje \(p\) - egy alkalmas derékszögû háromszögbõl számoljuk. (Katt.)

(6) A K és K' y-tengelyei által bezárt \(\alpha\) szög koszinuszát (szög melletti befogó/átfogó) felírva (katt.):
\begin{equation}
\begin{split}
\cos\alpha &= \frac{p}{\sin\beta}\\
\cos\alpha\cdot\sin\beta &= p
\end{split}
\end{equation}

(7) A keresett \(\sin(\alpha+\beta)\) alsó darabja tehát: \(p=\cos\alpha\cdot\sin\beta\). (Katt.)

(8) A felsõ részt - jelölje \(q\) - egy másik alkalmas derékszögû háromszögbõl számoljuk. (Katt.)
Ennek átfogója az eredeti egységvektor elsõ koordinátája K'-ben (ahol õ \(\beta\) ir.szögû), tehát \(\cos\beta\).
A háromszög jelölt hegyesszöge azért \(\alpha\), mert pl. váltószöge a K és K' x-tengelyei által bezárt szöggel.

(9) A háromszög \(\alpha\) szögének szinuszát felírva (katt.):
\begin{equation}
\begin{split}
\sin\alpha &= \frac{q}{\cos\beta}\\
\sin\alpha\cdot\cos\beta &= p
\end{split}
\end{equation}

(10) A keresett \(\sin(\alpha+\beta)\) felsõ darabja tehát: \(q=\sin\alpha\cdot\cos\beta\). (Katt.)

(11) A két darab összege kiadja, amit kerestünk: \(\color{darkblue}{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta}\)

Megjegyzés: A fenti bizonyításban kihasználtuk az ábrát - más szavakkal bizonyításunk csak akkor helyes, ha \(\alpha\), \(\beta\) és \(\alpha+\beta\) is hegyesszög. Indoklásunk így inkább csak jelzi az állítás igazságát, illetve az oda vezetõ utat.
Ettõl függetlenül a tétel valóban igaz tetszõleges \(\alpha\), \(\beta\) szögekre.
A bizonyítás teljessé tehetõ sok-sok eset szétválasztásával, vagy univerzálisabb (koordináta-geometriai) eszközökkel. Ezt most mellõzzük.

 

Az addíciós tétel kivonásra

Hogyan bomlik fel a \(\sin(\alpha-\beta)\) ?

Ennek megválaszolására idézzük fel a \(\sin\) és a \(cos\) függvények paritását!

A szinusz függvény páratlan. (Grafikonja szimmetrikus az origóra.) Ennek algebrai jelentése:
\[
\sin(-x) = -\sin x
\]
A koszinusz függvény páros. (Grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre.) Ennek algebrai jelentése:
\[
\cos(-x) = \cos x
\]

Ennek felhasználásával:
\begin{equation}
\begin{split}
\sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha+\color{darkblue}{(-\beta)}) &= \sin\alpha\cos\color{darkblue}{(-\beta)} + \cos\alpha\sin\color{darkblue}{(-\beta)} = \\
&= \sin\alpha\cos\beta\color{darkblue}{-}\cos\alpha\sin\beta
\end{split}
\end{equation}

 

A koszinusz addíciós tétele összeadásra...

Alkalmazzuk a szinusz- és koszinusz-függvények közti pótszögekre vonatkozó összefüggést, miszerint

\begin{equation}
\begin{split}
\sin x &= \cos(90^\circ-x)\\
\cos x &= \sin(90^\circ-x)
\end{split}
\end{equation}

Nézzük tehát a levezetést, amelyben a fenti összefüggéseket és a szinusz kivonásra vonatkozó addíciós tételét alkalmazzuk!

\begin{equation}
\begin{split}
\cos(\alpha+\beta)&=\sin[90^\circ-(\alpha+\beta)]=\sin[90^\circ-\alpha-\beta]=\sin[(90^\circ-\alpha)-\beta]=\\
&=\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\cos\beta-\cos(90^\circ-\alpha)\cdot\sin\beta =\\
&=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta
\end{split}
\end{equation}

... és kivonásra

Hasonlóan vezethetjük le a koszinusz addíciós tételét kivonásra:

\begin{equation}
\begin{split}
\cos(\alpha-\beta)&=\sin[90^\circ-(\alpha-\beta)]=\sin[90^\circ-\alpha+\beta]=\sin[(90^\circ-\alpha)+\beta]=\\
&=\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\cos\beta+\cos(90^\circ-\alpha)\cdot\sin\beta =\\
&=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta
\end{split}
\end{equation}

 

A tangens addíciós tétele

A tangens fv. addíciós tételét a \(\sin\) és \(\cos\) addíciós tételébõl levezethetjük a \(\text{tg }x=\frac{\sin x}{\cos x}\) összefüggés alkalmazásával:
\begin{equation}
\begin{split}
\text{tg }(\alpha+\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =
\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} =
\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} =
\frac{\text{tg }\alpha+\text{tg }\beta}{1-\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta}
\end{split}
\end{equation}És ugyanez kivonásra:
\begin{equation}
\begin{split}
\text{tg }(\alpha-\beta) &= \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} =
\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} =
\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} =
\frac{\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta}{1+\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta}
\end{split}
\end{equation}