2. óra: Addíciós tétel
\[
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta
\]
Bizonyítás
Tekintsünk egy \(\alpha+\beta\) irányszögû egységvektort! (Ld. ábra!)
(1) Ennek második koordinátája \(\sin(\alpha+\beta)\). (Kattintson az ábrán az 1. lépésre!)
(2) Forgassuk el az eredeti K koordinátarendszert \(\alpha\) szöggel! (Katt. 2. lépés!) Az új koordinátarendszer K'.
(3) A K' rendszerben egységvektorunk irányszöge \(\beta\), így ott a második koordinátája \(\sin\beta\). (Katt.)
(4) Az így kapott koordináta (\(\sin\beta\))
végpontját vetítsük ki vizszintesen a \(\sin(\alpha+\beta)\) irányába! (Katt.)
Ez kettéosztja a \(\sin(\alpha+\beta)\)-t. A két részt külön számoljuk
ki.
(5) Az alsó részt - jelölje \(p\) - egy alkalmas derékszögû háromszögbõl számoljuk. (Katt.)
(6) A K és K' y-tengelyei által bezárt \(\alpha\)
szög koszinuszát (szög melletti befogó/átfogó) felírva (katt.):
\begin{equation}
\begin{split}
\cos\alpha &= \frac{p}{\sin\beta}\\
\cos\alpha\cdot\sin\beta &= p
\end{split}
\end{equation}
(7) A keresett \(\sin(\alpha+\beta)\) alsó darabja tehát: \(p=\cos\alpha\cdot\sin\beta\). (Katt.)
(8) A felsõ részt - jelölje \(q\) - egy másik
alkalmas derékszögû háromszögbõl számoljuk. (Katt.)
Ennek átfogója az eredeti egységvektor elsõ koordinátája K'-ben (ahol õ
\(\beta\) ir.szögû), tehát \(\cos\beta\).
A háromszög jelölt hegyesszöge azért \(\alpha\), mert pl. váltószöge a K
és K' x-tengelyei által bezárt szöggel.
(9) A háromszög \(\alpha\) szögének szinuszát felírva
(katt.):
\begin{equation}
\begin{split}
\sin\alpha &= \frac{q}{\cos\beta}\\
\sin\alpha\cdot\cos\beta &= p
\end{split}
\end{equation}
(10) A keresett \(\sin(\alpha+\beta)\) felsõ darabja tehát: \(q=\sin\alpha\cdot\cos\beta\). (Katt.)
(11) A két darab összege kiadja, amit kerestünk: \(\color{darkblue}{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta}\)
Megjegyzés: A fenti
bizonyításban kihasználtuk az ábrát - más szavakkal bizonyításunk csak
akkor helyes, ha \(\alpha\), \(\beta\) és \(\alpha+\beta\) is
hegyesszög. Indoklásunk így inkább csak jelzi az állítás igazságát,
illetve az oda vezetõ utat.
Ettõl függetlenül a tétel valóban igaz tetszõleges \(\alpha\), \(\beta\)
szögekre.
A bizonyítás teljessé tehetõ sok-sok eset szétválasztásával, vagy
univerzálisabb (koordináta-geometriai) eszközökkel. Ezt most mellõzzük.
Az addíciós tétel kivonásra
Hogyan bomlik fel a \(\sin(\alpha-\beta)\) ?
Ennek megválaszolására idézzük fel a \(\sin\) és a \(cos\) függvények paritását!
A szinusz függvény páratlan. (Grafikonja szimmetrikus az
origóra.) Ennek algebrai jelentése:
\[
\sin(-x) = -\sin x
\]
A koszinusz függvény páros. (Grafikonja szimmetrikus az
y-tengelyre.) Ennek algebrai jelentése:
\[
\cos(-x) = \cos x
\]
Ennek felhasználásával:
\begin{equation}
\begin{split}
\sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha+\color{darkblue}{(-\beta)}) &=
\sin\alpha\cos\color{darkblue}{(-\beta)} +
\cos\alpha\sin\color{darkblue}{(-\beta)} = \\
&= \sin\alpha\cos\beta\color{darkblue}{-}\cos\alpha\sin\beta
\end{split}
\end{equation}
Tétel: Bármely \(\alpha\), \(\beta\) szögre
\[
\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta \pm \cos\alpha\cdot\sin\beta
\]
(Itt a \(\pm\) a két helyen azt jelenti, hogy ha az egyik \(+\), akkor a máik is az, ha pedig az egyik \(-\), akkor a másik is.)
A koszinusz addíciós tétele összeadásra...
Alkalmazzuk a szinusz- és koszinusz-függvények közti pótszögekre
vonatkozó összefüggést, miszerint
\begin{equation}
\begin{split}
\sin x &= \cos(90^\circ-x)\\
\cos x &= \sin(90^\circ-x)
\end{split}
\end{equation}
Nézzük tehát a levezetést, amelyben a fenti összefüggéseket és a szinusz kivonásra vonatkozó addíciós tételét alkalmazzuk!
\begin{equation}
\begin{split}
\cos(\alpha+\beta)&=\sin[90^\circ-(\alpha+\beta)]=\sin[90^\circ-\alpha-\beta]=\sin[(90^\circ-\alpha)-\beta]=\\
&=\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\cos\beta-\cos(90^\circ-\alpha)\cdot\sin\beta
=\\
&=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta
\end{split}
\end{equation}
... és kivonásra
Hasonlóan vezethetjük le a koszinusz addíciós tételét kivonásra:
\begin{equation}
\begin{split}
\cos(\alpha-\beta)&=\sin[90^\circ-(\alpha-\beta)]=\sin[90^\circ-\alpha+\beta]=\sin[(90^\circ-\alpha)+\beta]=\\
&=\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\cos\beta+\cos(90^\circ-\alpha)\cdot\sin\beta
=\\
&=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta
\end{split}
\end{equation}
\[\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta\](Úgy értve, hogy ha a bal oldalon összeadás van, akkor a jobb oldalon kivonás, ha pedig a bal oldalon kivonás áll, akkor a jobb oldalon összeadás.)
A tangens addíciós tétele
A tangens fv. addíciós tételét a \(\sin\) és \(\cos\) addíciós
tételébõl levezethetjük a \(\text{tg }x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
összefüggés alkalmazásával:
\begin{equation}
\begin{split}
\text{tg }(\alpha+\beta) &=
\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =
\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}
=
\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}
=
\frac{\text{tg }\alpha+\text{tg }\beta}{1-\text{tg }\alpha\cdot\text{tg
}\beta}
\end{split}
\end{equation}És ugyanez kivonásra:
\begin{equation}
\begin{split}
\text{tg }(\alpha-\beta) &=
\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} =
\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}
=
\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}
=
\frac{\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta}{1+\text{tg }\alpha\cdot\text{tg
}\beta}
\end{split}
\end{equation}
\[
\text{tg }(\alpha\pm\beta) = \frac{\text{tg }\alpha\pm\text{tg }\beta}{1\mp\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta}
\]
(Ha bal oldalt \(+\) áll, akkor jobb oldalt a számlálóban is \(+\) van, míg a nevezõben \(-\),
és fordítva, ha bal oldalt \(-\) áll, akkor jobb oldalt a számlálóban is \(-\), a nevezõben \(+\).)