2. óra: Addíciós tétel

Bizonyítás

Tekintsünk egy $\alpha+\beta$ irányszögû egységvektort! (Ld. ábra!)

(1) Ennek második koordinátája $\sin(\alpha+\beta)$. (Kattintson az ábrán az 1. lépésre!)

(2) Forgassuk el az eredeti K koordinátarendszert $\alpha$ szöggel! (Katt. 2. lépés!) Az új koordinátarendszer K'.

(3) A K' rendszerben egységvektorunk irányszöge $\beta$, így ott a második koordinátája $\sin\beta$. (Katt.)

(4) Az így kapott koordináta ($\sin\beta$) végpontját vetítsük ki vizszintesen a $\sin(\alpha+\beta)$ irányába! (Katt.)
Ez kettéosztja a $\sin(\alpha+\beta)$-t. A két részt külön számoljuk ki.

(5) Az alsó részt - jelölje $p$ - egy alkalmas derékszögû háromszögbõl számoljuk. (Katt.)

(6) A K és K' y-tengelyei által bezárt $\alpha$ szög koszinuszát (szög melletti befogó/átfogó) felírva (katt.):
$$\begin{equation} \begin{split} \cos\alpha &= \frac{p}{\sin\beta}\\ \cos\alpha\cdot\sin\beta &= p \end{split} \end{equation}$$

(7) A keresett $\sin(\alpha+\beta)$ alsó darabja tehát: $p=\cos\alpha\cdot\sin\beta$. (Katt.)

(8) A felsõ részt - jelölje $q$ - egy másik alkalmas derékszögû háromszögbõl számoljuk. (Katt.)
Ennek átfogója az eredeti egységvektor elsõ koordinátája K'-ben (ahol õ $\beta$ ir.szögû), tehát $\cos\beta$.
A háromszög jelölt hegyesszöge azért $\alpha$, mert pl. váltószöge a K és K' x-tengelyei által bezárt szöggel.

(9) A háromszög $\alpha$ szögének szinuszát felírva (katt.):
$$\begin{equation} \begin{split} \sin\alpha &= \frac{q}{\cos\beta}\\ \sin\alpha\cdot\cos\beta &= p \end{split} \end{equation}$$

(10) A keresett $\sin(\alpha+\beta)$ felsõ darabja tehát: $q=\sin\alpha\cdot\cos\beta$. (Katt.)

(11) A két darab összege kiadja, amit kerestünk: $\color{darkblue}{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta}$

Megjegyzés: A fenti bizonyításban kihasználtuk az ábrát - más szavakkal bizonyításunk csak akkor helyes, ha $\alpha$, $\beta$ és $\alpha+\beta$ is hegyesszög. Indoklásunk így inkább csak jelzi az állítás igazságát, illetve az oda vezetõ utat.
Ettõl függetlenül a tétel valóban igaz tetszõleges $\alpha$, $\beta$ szögekre.
A bizonyítás teljessé tehetõ sok-sok eset szétválasztásával, vagy univerzálisabb (koordináta-geometriai) eszközökkel. Ezt most mellõzzük.

 

Az addíciós tétel kivonásra

Hogyan bomlik fel a $\sin(\alpha-\beta)$ ?

Ennek megválaszolására idézzük fel a $\sin$ és a $cos$ függvények paritását!

A szinusz függvény páratlan. (Grafikonja szimmetrikus az origóra.) Ennek algebrai jelentése:
$$\sin(-x) = -\sin x$$
A koszinusz függvény páros. (Grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre.) Ennek algebrai jelentése:
$$\cos(-x) = \cos x$$

Ennek felhasználásával:
$$\begin{equation} \begin{split} \sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha+\color{darkblue}{(-\beta)}) &= \sin\alpha\cos\color{darkblue}{(-\beta)} + \cos\alpha\sin\color{darkblue}{(-\beta)} = \\ &= \sin\alpha\cos\beta\color{darkblue}{-}\cos\alpha\sin\beta \end{split} \end{equation}$$

 

A koszinusz addíciós tétele összeadásra...

Alkalmazzuk a szinusz- és koszinusz-függvények közti pótszögekre vonatkozó összefüggést, miszerint

$$\begin{equation} \begin{split} \sin x &= \cos(90^\circ-x)\\ \cos x &= \sin(90^\circ-x) \end{split} \end{equation}$$

Nézzük tehát a levezetést, amelyben a fenti összefüggéseket és a szinusz kivonásra vonatkozó addíciós tételét alkalmazzuk!

$$\begin{equation} \begin{split} \cos(\alpha+\beta)&=\sin[90^\circ-(\alpha+\beta)]=\sin[90^\circ-\alpha-\beta]=\sin[(90^\circ-\alpha)-\beta]=\\ &=\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\cos\beta-\cos(90^\circ-\alpha)\cdot\sin\beta =\\ &=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta \end{split} \end{equation}$$

... és kivonásra

Hasonlóan vezethetjük le a koszinusz addíciós tételét kivonásra:

$$\begin{equation} \begin{split} \cos(\alpha-\beta)&=\sin[90^\circ-(\alpha-\beta)]=\sin[90^\circ-\alpha+\beta]=\sin[(90^\circ-\alpha)+\beta]=\\ &=\sin(90^\circ-\alpha)\cdot\cos\beta+\cos(90^\circ-\alpha)\cdot\sin\beta =\\ &=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta \end{split} \end{equation}$$

 

A tangens addíciós tétele

A tangens fv. addíciós tételét a $\sin$ és $\cos$ addíciós tételébõl levezethetjük a $\text{tg }x=\frac{\sin x}{\cos x}$ összefüggés alkalmazásával:
$$\begin{equation} \begin{split} \text{tg }(\alpha+\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\text{tg }\alpha+\text{tg }\beta}{1-\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta} \end{split} \end{equation}$$ És ugyanez kivonásra:
$$\begin{equation} \begin{split} \text{tg }(\alpha-\beta) &= \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta}{1+\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta} \end{split} \end{equation}$$